Gamma č. 039 (Slapové síly)

Dopisy čtenářů

Honza:

O kolik je nižší váha vlivem působení odstředivé síly na rovníku vůči pólu? Samozřejmě stačí v procentech.

Tvoje otázka se zdála celkem jednoduchá, Honzo, a když jsem vzpomínal na ten třípísmenový vzoreček pro odstředivou sílu, napadlo mě, že to souvisí i se slapovými silami Slunce a Měsíce; rozhodl jsem se tedy odpověď trochu rozšířit. A to jsem si dal.

Ale nejdřív to odstředivé zrychlení:

        v2
a = ------
        Rz


neboli druhá mocnina obvodové rychlosti ku poloměru rovníku;

dosadíme-li poloměr Země (Rz) v metrech a počet sekund za den (t) do

      2 . Pi . Rz
v = -------------
           t

získáme obvodovou rychlost na rovníku :

v = 464 m/s (1670 km/h)

a odtud vyjde odstředivé zrychlení

a = 0.337 m/s2

tj. 3.5 promile normálního gravitačního zrychlení.


Země je tedy poměrně pomalý kolotoč, ale přesto je tunové těleso na rovníku nadlehčováno odstředivou silou odpovídající závaží o váze 3.5 kg. Proto je také Země znatelně zploštělá: zatímco její rovníkový průměr činí 12757 km, přes póly je to jen 12714 km.


Zemský povrch ovšem neovlivňuje jen odstředivá síla; významné jsou i slapové síly v soustavách [Země ? Slunce] a [Země ? Měsíc], které jsou například příčinou mořského přílivu. Tak tedy spočítáme gravitační zrychlení působené Sluncem a Měsícem:

         kappa . M
ag = --------------
             R2

kde kappa je gravitační konstanta z Newtonova zákona = 6,67.10 na -11, M je hmotnost příslušného tělesa (Slunce nebo Měsíce) a R je vzdálenost téhož tělesa od Země. Dosadíme-li pro Slunce M=1,993.1030 kg a R=149,504.109 m, a dále pro Měsíc M=7.374.1022 kg a R=384,405.106 m, vyjde gravitační zrychlení působené Sluncem As = 0,0059 ms na -2 a Měsícem Am = 0,000033 ms na -2.


Tady jsem zůstal vyjeveně civět na vypočtená čísla: slapové působení Slunce dvoutisíckrát silnější než účinek Měsíce??? Každý začínající námořník, který aspoň jednou viděl přílivové tabulky, pozná na první pohled, že je to nesmysl; v čem je chyba? Dvakrát znova přepočítat, Newtonův gravitační zákon je elementární, tady není co poplést; ještě kontrola vstupních údajů - vzdálenosti znám skoro zpaměti, hmotnosti těles jsou ještě taky v knížce o Měsíci - ať mě hrom, není tam chyba ani v desetinných místech, a přitom výsledek je vedle o tři řády. Skandální záležitost.


Když selžou nabiflované vzorečky, je nejvyšší čas začít konečně trochu přemýšlet. Pro začátek zaměníme Zemi hmotným bodem a její oběžnou dráhu kružnicí místo elipsy - v obou ohledech je to dostatečně přesný model. Jakou výslednou silou působí Slunce na hmotný bod obíhající po kružnici? No... žádnou; jinak by se ten bod musel vychýlit z dráhy, že jo; přece přitažlivá síla se rovná odstředivé, díky tomu vůbec funguje celá sluneční soustava. Aha ... takže slapová síla rovná se nikoliv gravitačnímu zrychlení, ale rozdílu gravitačního a odstředivého zrychlení. V těžišti Země je ten rozdíl nulový; v bodě, kde Slunce stojí v nadhlavníku, je odstředivé zrychlení menší (poloměr dráhy ve jmenovateli je sice menší, jenže obvodová rychlost taky, a ta je v druhé mocnině) a zároveň je větší gravitační zrychlení (na vzdálenosti zmenšené o poloměr Země); to způsobuje ?protažení" zemského povrchu, a zejména hladiny moří, směrem ke Slunci. Na straně odvrácené od Slunce, kde je právě půlnoc, je naopak odstředivá síla větší (stejná úhlová rychlost na větším poloměru) a gravitační zrychlení je na větší vzdálenosti menší, takže výsledný vektor zrychlení míří tentokrát od Slunce a tím pádem zase od povrchu Země, který je tak i tady ?natahován? směrem ven. Země tak s velkou nadsázkou připomíná ragbyový míč s konci protaženými ke Slunci i od něj.


A teď jak je to s tím Měsícem; to bude složitější. Každý ví, že Měsíc obíhá kolem Země; jenže tohle taky není přesně pravda. Ve skutečnosti obíhají obě tělesa kolem společného těžiště soustavy Země+Měsíc; vzhledem k nepoměru jejich hmotností se ale tohle těžiště nachází někde uvnitř Země, asi 4000 km od jejího středu a necelých 2400 km pod povrchem. S gravitací to tady bude podobné jako u Slunce: opět bude gravitační zrychlení ? které je v případě Měsíce skutečně nepatrné ? větší na přivrácené straně zeměkoule a menší na odvrácené. Odstředivá síla bude na odvrácené straně působit výrazně ven, to je stejné jako při oběhu kolem Slunce, ale na přivrácené straně Země míří tato síla dokonce směrem k Měsíci (byť není velká), protože Země se kromě své rotace kýve kolem zmíněného společného těžiště. V důsledku toho zbytkové zrychlení (působené gravitací Měsíce a pohybem celé soustavy Země-Měsíc) na obou stranách zemského povrchu bude větší než zrychlení způsobené interakcí se Sluncem (a i tady na obou stranách míří směrem od povrchu). A tohle už vypadá rozumně. Slapové zrychlení vyvolané Sluncem pak vychází v řádu 10-4 ms-2, zatímco zrychlení působené Měsícem je řádově 10-2 ms-2. (Přesné výpočty by vyžadovaly vzít v úvahu skutečnost, že dráhy Měsíce a Země nejsou kruhové, ale eliptické).


Teď tedy ještě o přílivu všeobecně: jak jsme právě viděli, je to jev, který není způsoben samotnou přitažlivostí Slunce a Měsíce, jak se můžete obvykle dočíst, ale různými kombinacemi nevyrovnané gravitační a odstředivé síly. Rozdíly hladiny za odlivu a přílivu jsou nejvyšší, když jsou Slunce s Měsícem v jedné přímce a popsané efekty jsou největší (?springtide?), naopak málo výrazný pohyb vodních mas (?neaptide?) nastává v době, kdy spojnice Země se Sluncem a Měsícem svírají pravý úhel. Skutečný průběh přílivových proudů je pak ještě mnohem složitější, protože proudění je ovlivňováno tvarem pobřeží (zálivy, úžiny) a rezonancí vznikající při periodických přesunech velkých vodních mas. V uzavřených mořích, kde se přesouvá relativně malé množství vody (Středozemní, Kaspické, Balt) skok přílivu nepřesahuje jeden metr, zatímco v úzkých zátokách severoatlantického pobřeží dosahuje až osmi metrů. Příliv i odliv nastávají dvakrát denně. Slapovými silami ovšem nejsou ovlivňovány jen vodní hmoty; při průchodu Měsíce zenitem (=nadhlavníkem) se i pevný zemský povrch zvedá až o 30 centimetrů.


Existence přílivu měla velký význam pro biologickou evoluci, protože uspíšila přechod života z moře na souš: živočichové v přílivovém pásmu, kteří byli dvakrát denně vyplavovaní na břeh a znovu splachovaní do moře měli nejlepší podmínky i motivaci k tomu, aby si postupně zvykli na existenci mimo vodní prostředí. Po dalších stovkách miliónů let pak příliv uspíšil vývoj - tentokrát technický - ještě jednou, když si v severní Evropě v raném středověku vynutil konstrukci rychlých plachetnic: zatímco ve Středomoří se až do osmnáctého století běžně používaly velké veslice (galéry), v severoevropských mořích byla tato plavidla použitelná jen omezeně, protože svou nízkou rychlostí (trvale 2-3 uzly) nedokázala překonávat silné přílivové proudy (například v Lamanšském kanále až osm uzlů). To pak mělo přímý vliv na postup objevitelských plaveb a zakládání zámořských osad, jejímž důsledkem je dodnes přetrvávající dominance euroamerické civilizace.